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空间曲线积分的几何意义

积分这个运算涉及两个要素:被积函数和积分区域.曲线积分顾名思义积分区域是空间曲线,而具体的几何或物理意义要根据被积函数而定,如果被积函数f(x,y,z)表示线密度函数,则曲线积分的物理意义就是该曲线物体的质量,特别的,如果f(x,y,z)=1,则曲线积分有明确的几何意义,积分结果就等于曲线的长度.

曲线积分是在同一个平面上线与线的封闭面积,就是形成了平面四边形;曲面积分是在一个由曲线积分形成的平面上,再进行体上的积分,就像杯子的底是由XY曲线积分形成,而它的杯子的上缘线就是Z的轨迹线,当然Z不一定是像杯子上缘线一样平行于底面.说穿了,就是面与体的区别.

是物理学上这些抽象的概念 第一类是已知线密度求与绳子的形状 求密度 第二类是已知变力与做功方向 求做功大小 所以也叫对坐标的曲线积分 其实就是所谓的正交分解 如果曲线封闭 一介偏导存在 平面曲线可转化为2重积分.. 多看几遍就懂了 当然也要做题

是两个曲面在一点切平面的交线即两个空间曲面交线在这点的切线

对于第一类曲面积分,如果被积函数是1,则积分表示的几何意义就是曲面Σ的面积.如果被积函数不是1(当然也不能是0),则积分有它的物理意义,即曲面Σ的质量,被积函数就是其面密度函数.

线积分又称“曲线积分”.积分区间由直线段推广到曲线上的定积分.如果曲线是无向的称为第一型曲线积分;如果曲线是有向的称为第二型曲线积分.用于求曲线的质量和变力沿曲线作功等问题.

曲线积分∫L f(x)ds 当f(x)=1 ds=√[dx)+(dy)]=√(1+y')dx 用微元法,在小三角形中,斜边长Δs=Δx+Δy 弧长=Σ√(Δxi+Δyi)=∫√(1+y')dx=∫ds

第二类曲线积分就是从研究变力做功开始的,你翻翻你的数分教材,我敢肯定你找不到他说这玩意和某个几何图形有关系.就算你如此费劲后找到了联系,我敢肯定这是牵强附会.积分的最基本思想并不是求面积、体积亦或是功、质量,而是分割、累加和、求极限.该清楚本质.

第二类曲线积分可以看作是一个向量函数的线积分,所以可能没有实际的几何意义吧

1)第一类曲线积分a.不含被积函数,是曲线积分长度b.含被积函数,理解为被积函数是曲线线密度,积分就是曲线质量2)第二类曲线积分把积分函数看成力F,积分之后为力F沿着曲线所作功

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